Las fracciones equivalentes a ⅔ (se lee dos tercios) son aquellas cuyo valor, expresado en forma decimal, es el mismo que se obtiene al dividir 2 entre 3: 0.6666… Los puntos suspensivos indican que el 6 aparece infinitas veces en esta división.

Una fracción equivalente a 2/3 es la fracción 4/6, pues resulta que tras resolver la división entre 4 y 6 de manera explícita, se obtiene el decimal 0,66666…. Entonces puede afirmarse que 4/6 = 2/3 = 0,66666….

Una fracción, como su nombre lo indica, es una parte o porción de la unidad. La fracción ⅔ se obtiene al dividir la unidad en tres partes iguales y tomar dos de esas partes.

Toda fracción consta de una parte superior, llamada numerador, separada de la parte inferior o denominador, mediante la línea de fracción. El denominador indica en cuántas partes se divide la unidad y el numerador señala cuántas de estas partes hay que tomar en consideración.

Ahora considérese la a fracción 4/6 (se lee cuatro sextos). Se comprueba que esta fracción es equivalente a ⅔, ya que para dividir la unidad en seis partes, hay que seguir estos pasos:

Si se agrupan 4 partes de 1/6 de la unidad, la cantidad obtenida es una fracción de idéntico valor a la que se obtiene tomando 2 partes de 1/3 de la unidad. En el siguiente gráfico se lleva a cabo el procedimiento descrito:

Verificación gráfica de que la fracción 2/3 es equivalente a la fracción 4/6. Fuente: F. Zapata.

Obsérvese que la fracción equivalente 4/6 se puede obtener de 2/3 al multiplicar por 2 tanto al numerador como al denominador de esta última.

Cuando se multiplica simultáneamente el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número, se obtiene una fracción equivalente.

Otra manera de encontrar una fracción equivalente a otra sería dividiendo numerador y denominador por una misma cantidad, siempre que el numerador y el denominador sea divisible en forma exacta por ese mismo número. Pero no es posible conseguir, mediante la división por un mismo entero, una fracción equivalente partiendo de 2/3, ya que los números 2 y 3 son primos entre sí.

Cuando el numerador y el denominador de una fracción son números primos entre sí, se dice que la fracción es irreducible. Y la fracción 2/3 es un buen ejemplo de esta clase de fracciones, de hecho, 2/3 representa al conjunto de todas las fracciones equivalentes a 0.666…

En cambio la fracción 4/6 es reducible y equivalente a la fracción ⅔, ya que el numerador 4 y el denominador 6 son números pares, ambos divisibles por 2.

Entonces, las dos formas de obtener fracciones equivalentes a una dada, son:

Para obtener una fracción equivalente a una dada, se multiplican numerador y  denominador por una misma cifra. Aquí hay algunos ejemplos:

Se concluye que ⅔ (dos tercios), 4/6 (cuatro sextos), 6/9 (seis novenos)y 8/12 (ocho duodécimos) son todas fracciones equivalentes entre sí, pero de ellas, sólo ⅔ es la fracción irreducible.

En resumen, si se parte de la fracción irreducible ⅔, la forma de obtener cualquier otra fracción equivalente, es aplicar esta fórmula:

Con n entero.

Es un método que permite obtener una fracción equivalente, siempre que la fracción de partida tenga numerador y denominador con uno o más divisores comunes.

No es el caso de 2/3, que como se dijo antes, es irreducible. Pero por ejemplo, la fracción 60/90 (sesenta noventavos) puede reducirse a:

Si se quiere obtener la fracción irreducible equivalente a la original, entonces es necesario dividir tanto numerador como denominador por su Máximo Común Divisor (MCD).

Descomponiendo en factores el numerador se tiene:

60 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5

Y llevando a cabo el mismo procedimiento en el denominador:

90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5

El MCM son los factores primos comunes con su menor exponente, es decir:

MCM(60; 90)= 2⋅3⋅5 = 30

Entonces, 60 entre 30 da 2, el cual se coloca en el numerador y como 90 entre 30 da 3, se coloca 3 en el denominador. Por tanto se puede expresar la fracción irreducible de 60/90 como:

La manera directa para saber si dos o más fracciones son equivalentes, es expresar las fracciones directamente en forma decimal, y si todos los dígitos coinciden, es seguro que las fracciones son equivalentes. Pero hay otros métodos aplicables a 2/3:

Sea la fracción x/y y se quiere saber si dicha fracción es equivalente a 2/3:

Se coloca un signo de interrogación, pues no se sabe aún si los valores de “x” y “y”  satisfacen la igualdad. Para saberlo se multiplica en cruz:

3x =? 2y

Solo cuando la igualdad se cumple, hay seguridad de que x/y es una fracción equivalente a 2/3.

Este método requiere determinar máximo común divisor (MCD) del numerador y el denominador. Después ambos se dividen por el MCD, y si la fracción obtenida después de efectuar la operación descrita es 2/3, entonces puede afirmarse que se trata de una fracción equivalente a ella.

Determinar si la fracción 40/60 es equivalente a ⅔.

Por el método 1:

El método señala que se debe multiplicar en cruz:

40 x 3 =? 60 x 2

120 =? 120

Puesto que la igualdad se cumple, se concluye que 40/60 es equivalente a 2/3.

Determine si la fracción 120/180 es equivalente a ⅔.

En este ejemplo se aplica el método 2. Lo primero es determinar la descomposición en factores primos de 120:

120 = 23 ⋅ 3 ⋅ 5

Y la descomposición en factores del denominador es:

180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5

Para determinar el MCD, se multiplican los factores comunes con su menor exponente:

MCD(120; 180)= 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60

Entonces:

120 ÷ 60 = 2

180 ÷ 60 = 3

Por lo que se concluye que 120/180 es equivalente a 2/3, es decir:

¿Son equivalentes las fracciones 10/15 y 12/18?

La forma más rápida de comprobarlo es multiplicar en cruz, ya que no son valores muy grandes:

10 x 18 =? 15 x 12

180 =? 180

Se obtuvo una igualdad, entonces puede afirmarse que 10/15 = 12/18.

¿Son las fracciones 8/12 y 12/20 equivalentes a ⅔?

Se aplicará el método de simplificación, que consiste en ir dividiendo simultáneamente numerador y denominador por factores primos comunes hasta llegar a una expresión irreducible:

8/12 = 4/6 = ⅔, es decir que la primera fracción es equivalente a ⅔.

Para la segunda fracción se tiene:

12/20 = 6/10 = ⅗, pero ⅗ es irreducible y diferente de ⅔, por tanto la segunda fracción no equivale a ⅔.